post-bac ( prepa)

#Analyse #Synthèse

#Astuces #Par exemple, on peut transformer x en x/2 continuellement et créer une suite #On peut remplacer une fonction par une autre (exemple: f(x)=1-g(x)) #On peut également substituer y par x (exemple pour montrer qu'on a le droit de passer de y à x ou inversement sans restrictions). Le but est toujours d'essayer et de chercher. On obtient forcément des informations précieuses au final

#Utiliser la continuité #Théorème #Caractérisation séquentielle de la continuité #Utile par exemple pour prouver que f(x) est constante

#Equation fonctionnelle de Cauchy

#Equation fonctionnelle de Cauchy #Solutions

#Troncature et fonction partie entière #Utiliser une suite avec x ∈ ℚ pour prouver que x ∈ ℝ (Par exemple si x=π, u0=3 , u1=3,1 u2=3,14 u3=3,141 etc alors la limite de xn quand n→+∞ = π (on a alors prouvé que x ∈ ℝ)) #Développement décimal du nombre

#Troncature #Différence avec l'arrondi #Rappel

#Equation fonctionnelle de Cauchy #Enoncé

#Equation fonctionnelle de Cauchy #Corrigé

#Equation fonctionnelle de Jensen

#Logarithme décimal #Rappel

#Archimédien

#Propriété d'Archimède #Propriété de la partie entière

# ℝ est archimédien #Démonstration

# ℝ est archimédien #Démonstration

#Autre démonstration #Densité de ℚ dans ℝ #La densité de ℚ dans ℝ signifie simplement que dans n'importe quel intervalle non vide de ℝ et ne comportant pas un seul élement (donc au moins deux éléments), on peut trouver un rationnel (donc appartenant à ℚ)

#Autre démonstration #Densité de ℚ dans ℝ

#ESPACE PREHILBERTIEN REEL #Produit scalaire #Bilinéarité #Symétrie #Définie positive #Un espace préhilbertien réel de dimension finie est appelé un espace euclidien #Pour prouver la bilinéarité, la linéarité par rapport à une seule variable est suffisante si l'on a démontré la symétrie avant (il suffit de renverser le produit après la 1ère linéarité détectée pour s'en apercevoir)

#Produits scalaire canonique #Norme et distance associées à un produit scalaire #Espace préhilbertien réel

||f||=rac(<f,f>) #Espace préhilbertien réel

Rappels #Colinéarité #Déterminant de deux vecteurs

#Rappels #Produit scalaire #Dimension 2

#Produit scalaire #Propriétés #Commutatvité #Associativité #Distributivité

#Produit scalaire #Scalaire #Propriétés

#Exemple #Commutativité #Associativité #Distributivité

#Produit scalaire positif #Produit scalaire négatif

#Produits scalaires canoniques #Espace préhilbertien réel

#Produits scalaires canoniques #Espace préhilbertien réel

#Inégalité de Cauchy-Schwarz #Espace préhilbertien réel

#Inégalité de Cauchy-Schwarz #Espace préhilbertien réel

#Inégalité de Cauchy-Schwarz #Inégalité triangulaire norme et distance #Espace préhilbertien réel

#Norme euclidienne #Espace préhilbertien réel

#Inégalité triangulaire version norme #Espace préhilbertien réel

#Identités remarquables #Espace préhilbertien réel

#Idendités de polarisation #Espace préhilbertien réel

#Distance #Espace préhilbertien réel

#Espace préhilbertien réel

#Vecteurs orthogonaux #Espace préhilbertien réel

#ESPACE PREHILBERTIEN COMPLEXE

#Espace préhilbertien complexe #L'objet central d'un espace préhilbertien est ce qu'on appelle en général un produit scalaire. Il peut s'agir d'un produit scalaire euclidien lorsque l'on considère des espaces vectoriels sur le corps des nombres réels ou d'un produit scalaire hermitien dans le cas d'espaces vectoriels sur le corps des nombres complexes

#Produit hermitien #Définie positive #Sesquilinéaire #Hermitienne #Espace préhilbertien complexe

#Produit hermitien #Produit scalaire hermitien #Définie positive #Sesquilinéaire #Hermitienne #Une forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel complexe E est une application de E × E dans ℂ, linéaire selon l'une des variables et semi-linéaire par rapport à l'autre variable #Espace préhilbertien complexe

#Espace hermitien #Produit scalaire hermitien #Norme #Espace préhilbertien complexe

#Identités remarquables #Espace préhilbertien complexe

#Produits scalaires usuels #Espace préhilbertien complexe

#Inégalité Cauchy-Schwarz #Valable sur Espace préhilbertien complexe

#Espace préhilbertien complexe

#Gram-Schmdit #Différence par rapport à l'espace réel #Espace préhilbertien complexe

#Produit scalaire hermitien #Espace préhilbertien complexe

#Rappels #Nombres complexes #Propriétés

#Rappels #Nombres complexes #Propriétés #Affixe #Milieu

#Rappels #Nombres complexes #Propriétés #Conjugué

#Rappels #Nombres complexes #Propriétés #Equation du second degré

#Rappels #Nombres complexes #Propriétés #Module #Argument #Forme trigonométrique

#Rappels #Nombres complexes #Propriétés #Conjugué #Module

#On appelle points fixes ou points invariants les points qui respectent f(Ω)=Ω (on s'en peut s'en servir par exemple pour trouver l'affixe du centre) #C'est bien sûr valable dans ℝ aussi

#Isométrie

#Symétrie orthogonale d'axe (OI) #Symétrie orthogonale d'axe (OJ) #Symétrie centrale de centre O

#Symétrie orthogonale #Symétrie centrale #Translation #Homothétie #Rotation

#Symétrie par rapport à la droite passant par le point A (d'affixe a)

#Similitude directe

#Similitude indirecte #Symétrie

#Similitude directe

#Similitude directe

#Similitude directe ##Similitude indirecte #Différence

#Similitude #Définition

#Composition d'une rotation et d'une translation #Composition de deux rotations

#Matrices symétriques #Matrices antisymétriques #Matrices orthogonales

#Matrices symétriques

#Matrices symétriques

#Matrices symétriques

#Matrices symétriques #Diagonalisation de matrices symétriques réelles

#Matrices symétriques #Diagonalisation de matrices symétriques réelles #Donc la matrice de passage est composée des vecteurs de la B.O.N simplement etc

#Définie positive

#Produit vectoriel

#Produit vectoriel

#Famille orthogonale #Famille orthonormée (ou orthonormale)

#Algorithme Gram-Schmidt #Espace préhilbertien réel

#Algorithme Gram-Schmidt #Espace préhilbertien réel

#Algorithme Gram-Schmidt #Application #Espace préhilbertien réel

#Algorithme Gram-Schmidt #Application #Espace préhilbertien réel

#Algorithme Gram-Schmidt #Astuce

#Matrice orthogonale #Mt=M^(-1) #La matrice est orthogonale si et seulement si (e1,e2,e3...en) forment une base orthonormale #Le déterminant d'une matrice orthogonale est de carré 1, c'est-à-dire qu'il est égal à +1 ou –1 (la réciproque est trivialement fausse). Une matrice orthogonale est dite directe si son déterminant vaut +1 et indirecte s'il vaut –1

#Vecteurs orthogonaux #Famille orthogonale #Famille orthonormale #Espace préhilbertien réel

#Théorème de Pythagore #Espace préhilbertien réel

#Supplémentaire orthogonal #Espace préhilbertien réel

#Trouver une base orthogonale #Exemple #La base orthogonale n'a pas besoin nécessairement d'avoir les mêmes dimensions que la base d'origine

#Matrice de rotation #Anti-horaire #Horaire

#Cas où on connaît la matrice de rotation #Trouver l'axe et l'angle à partir de la matrice de rotation #L'axe est invariant (le vecteur u reste fixe malgré la matrice R)

#Cas où on connaît la matrice de rotation #Trouver l'axe et l'angle à partir de la matrice de rotation

#Cas où on connaît la matrice de rotation #Trouver l'axe et l'angle à partir de la matrice de rotation #Trouver le déterminant de la base #On aura bien sûr trouvé l'axe grâce au système linéaire Au=u

#Cas où l'on cherche la matrice de rotation (on connaît l'axe et l'angle) #Sens anti-horaire #Etape 2 #Après il suffit simplement de placer les 3 vecteurs dans la matrice M', la matrice de passage P étant les 3 vecteurs de la base orthonormée (e1,e2,e3) #Matrice de passage orthogonale

#Matrice de passage orthogonale

#Matrice de passage orthogonale

#Matrice de passage d'un changement de bases orthonormales

#Symétrie (dans un espace vectoriel) #S²=I

#Symétrie (dans un espace vectoriel) #Dimension 2 #Plan

#Symétrie (dans un espace vectoriel) #C'est la symétrie par rapport à ker (s-IdE) parallèlement à ker(s+IdE)

#Une involution est une application bijective qui est sa propre réciproque, c'est-à-dire par laquelle chaque élément est l'image de son image #La symétrie vectorielle est une application linéaire involutive : elle vérifie s²=id

#Symétrie (dans un espace vectoriel)

#Symétrie (dans un espace vectoriel) #Les valeurs propres possibles d'une symétrie sont -1 et 1 (il est donc aisé dans une matrice 2x2 de deviner la trace (somme des valeurs propres) qui vaut 0 et le déterminant (produit des valeurs propres) qui vaut -1) #s(x)=λ(x) donne s²(x)=λ²(x)=id donc λ={-1,1}

#Trouver matrice de symétrie/symétrie orthogonale #Méthode

#Trouver matrice de symétrie/symétrie orthogonale #Méthode #A la fin on peut vérifier S²=I

#Symétrie orthogonale (dans un espace vectoriel) #S²=I

#Projecteur/Projecteur orthogonal A²=A #Symétrie/Symétrie orthogonale A²=I

#Avec la matrice M #Avec M'=PMP(^-1) #Base adaptée

#Relations projecteurs/symétrie

#S=2P-I #Valable pour Symétrie/Projecteur et Symétrie orthogonale/Projecteur orthogonal

#Projecteur #C'est une application linéaire idempotente : elle vérifie p² = p #L'idempotence signifie qu'une opération a le même effet qu'on l'applique une ou plusieurs fois #L'application p est un endomorphisme, idempotent (p ∘ p = p), d'image im(p) = F et de noyau ker(p) = G. Cet endomorphisme est diagonalisable

#Projecteur #La projection sur im(p) parallèlement à ker(p)

#Trouver la matrice de projection/projection orthogonale #Méthode

#Trouver la matrice de projection/projection orthogonale #Méthode #A la fin on peut vérifier P²=P

#Distance à un sous-espace vectoriel en dimension finie

#Projecteur

#Projection orthogonale #Symétrie orthogonale

#La base de ker(p) est égale à la base orthogonale de im(p)

#Il donc très évident de déduire dans une matrice 2x2 que la trace (somme des valeurs propres) est 1 et que le déterminant (produit des valeurs propres) est 0 pour ainsi prouver la projection #Un tel raisonnement est limpide également pour trouver les valeurs propres d'une symétrie

#Trace d'une projection #Valeurs propres

#Projection orthogonale #Une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale #Symétrie orthogonale #Expression d'un projeté orthogonal dans une base orthonormale #Quand on a trouvé la matrice, on peut vérifier A²=A pour valider

#Prouver une matrice de projection orthogonale #ker(p) pourra servir de vecteur normal pour déterminer l'équation du plan de F par exemple

#Trouver la matrice de projection orthogonale avec x∈E dans la base canonique #Gram-Schmidt

#Distance à un plan

#Matrice de projection #M²=M (pour TOUTE matrice de projection (pas forcément orthogonale))

#Décomposition LU #Lower #Upper

#Décomposition LU #Lower #Upper

#Rappel #Déterminants #Propriétés

#Rappel #Trace #Propriétés #Linéarité de la trace Tr(αA)=αTr(A)

#Rappel #Trace #Propriétés

#Rappel #Trace #Propriétés

#Rappel #Transposée #Propriétés #Linéarité de la transposée (αA)t=α(A)t

#Produit de matrices #Appliquer f∘g (par exemple), c'est simplement multiplier les 2 matrices correspondantes dans le même ordre

<A,B>=Tr(tAB)